Phép chiếu song song và hình biểu diễn của một hình không gian

Phép chiếu song song là gì?

Cho một mặt phẳng (α) và đường thẳng Δ bất kì cắt (α). Với mỗi điểm M trong không gian ta vẽ đường thẳng đi qua điểm M và song song ( hoặc trùng ) với đường thẳng Δ, cắt mặt phẳng (α) tại điểm M' xác định.

Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với điểm M' như vậy được gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng (α) theo phương Δ.

(α): Mặt phẳng chiếu

Δ: phương chiếu

M': Hình chiếu song song của điểm M qua phép chiếu trên theo phương Δ

Các tính chất của phép chiếu song song

a) Phép chiếu song song sẽ biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng khác mà không làm thay đổi thứ tự tương ứng của ba điểm đó.

b) Phép chiếu song song sẽ biến đường thẳng thành đường thẳng, biến một tia thành tia và biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng.

c) Phép chiếu song song sẽ biến 2 đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) thành 2 đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) tương ứng.

d) Phép chiếu song song sẽ không làm thay đổi về tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hay 2 đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng.

Tham khảo ngay bộ tài liệu ôn tập kiến thức và tổng hợp phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi THPT môn Toán

Hình biểu diễn của hình không gian trên mặt phẳng

Hình biểu diễn của một hình A bất kì trong không gian chính là hình chiếu song song của hình A đó lên một mặt phẳng nào đó theo một phương chiếu bất kì hoặc là hình đồng dạng với chính hình chiếu đó.

Ví dụ:

Hình biểu diễn của hình tam giác

Hình biểu diễn của hình bình hành

Hình biểu diễn của hình tròn

Một số lưu ý về hình biểu diễn:

• Hình biểu diễn của hình bình hành nói chung là hình bình hành (trong trường hợp đặc biệt có thể là đoạn thẳng)
• Hình biểu diễn của một hình thang cũng là một hình thang (trong trường hợp đặc biệt cũng có thể là đoạn thẳng)
• Hình biểu diễn của các hình như hình vuông, hình thoi và hình chữ nhất đều là hình bình hành (trong trường hợp đặc biệt cũng là một đoạn thẳng)
• Một tam bất kỳ đều có thể được xem như là hình biểu diễn của một tam giác vuông, tam giác cân hoặc là một tam giác đều
• Hình biểu diễn của một đường tròn có thể là một đường elip hoặc một đường tròn hoặc trong trường hợp đặc biệt có thể là một đoạn thẳng.

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán sớm ngay từ bây giờ

Bài tập về phép chiếu song song

Bài 2 trang 73 SGK Toán 11

Hình 2.67 dưới đây có là hình chiếu của hình lục giác đều hay không? Giải thích vì sao

Hướng dẫn giải

Hình 2.67 không thể là hình chiếu của hình lục giác đều.

Giải thích: Giả sử có hình lục giác đều ABCDEF có điểm O là giao điểm của các đường chéo của hình hình

Ta thấy được OA // BC

Tuy nhiên trên hình chiếu 2.67 thì không thể hiện được điều này

Vậy suy ra hình đó không phải là hình chiếu của hình lục giác đều

Bài 3 trang 74 SGK Toán 11

Hình nào sau đây là biểu diễn của hình lập phương

Hướng dẫn giải

Hình a là hình biểu diễn của hình lập phương

Bài 4 trang 75 SGK Toán 11

Các hình sau đây là hình chiếu của các loại tam giác nào

Hướng dẫn giải

Ta có hình 2.69a là hình biểu diễn của hình tam giác đều

Hình 2.69b là hình biểu diễn của hình tam giác cân

Hình 2.69c là hình biểu diễn của hình tam giác vuông

Bài 5 trang 75 SGK Toán 11

Cho các hình dưới đây, hãy xác định các hình đó là hình biểu diễn của dạng hình bình hành nào (hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật hay hình vuông)

Hướng dẫn giải

Hình 2.70a là hình biểu diễn của hình bình hành

Hình 2.70b là hình biểu diễn của hình vuông

Hình 2.70c là hình biểu diễn của hình thoi

Hình 2.70d là hình biểu diễn của hình chữ nhật

Bài 6 trang 75 SGK Toán 11

Cho hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau. Một đường thẳng a cắt mặt phẳng (α) và (β) lần lượt tại các điểm A và C. Một đường thẳng b song song với a cắt 2 mặt phẳng (α) và (β) lần lượt tại 2 điểm B và D.

Hỏi hình 2.72 đã minh họa nội dung trên đúng hay sai?

Hướng dẫn giải

Theo đề bài ta có 2 mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau

do a//b nên A,B,C,D thuộc mặt phẳng

AB là giao tuyến của mặt phẳng (α) và mặt phẳng (ABDC)

CD là giao tuyến của mặt phẳng (β) và mặt phẳng (ABDC)

⇒ Theo định lý ta sẽ có AB // CD

Tuy nhiên, hình 2.72 lại không biểu diễn điều đó. Vậy hình 2.72 minh họa sai với nội dung

Trên đây là toàn bộ kiến thức về Phép chiếu song song và hình biểu diễn của một hình không gian trong chương trình Toán 11. Hy vọng thông qua bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm chắc kiến thức và phương pháp giải các dạng bài liên quan tới phép chiếu song song. Để tham khảo thêm kiến thức của các môn học khác, các em học sinh có thể truy cập vuihoc.vn. Chúc các em đạt kết quả tốt trong các kì thi sắp tới.

Bài viết tham khảo thêm:

Phép đồng dạng

Phép quay

Phép tịnh tiến

Hai mặt phẳng song song

Vecto trong không gian