Lý thuyết Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit - Toán 11 Kết nối tri thức

1. Phương trình mũ

Phương trình mũ cơ bản có dạng ({a^x} = b)(với (0 < a ne 1)).

- Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất (x = {log _a}b).

- Nếu b ( le ) 0 thì phương trình vô nghiệm.

Minh họa bằng đồ thị:

Chú ý: Phương pháp giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu (0 < a ne 1) thì ({a^u} = {a^v} Leftrightarrow u = v).

2. Phương trình lôgarit

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng ({log _a}x = bleft( {0 < a ne 1} right)).

Phương trình lôgarit cơ bản ({log _a}x = b) có nghiệm duy nhất (x = {a^b}).

Minh họa bằng đồ thị:

Chú ý: Phương pháp giải phương trình lôgarit bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu (u,v > 0) và (0 < a ne 1) thì ({log _a}u = {log _a}v Leftrightarrow u = v).

3. Bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ({a^x} > b) (hoặc ({a^x} ge b,{a^x} < b,{a^x} le b)) với (a > 0,a ne 1).

Xét bất phương trình dạng ({a^x} > b):

- Nếu (b le 0) thì tập nghiệm của bất phương trình là (mathbb{R}).

- Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với ({a^x} > {a^{{{log }_a}b}}).

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là (x > {log _a}b).

Với (0 < a < 1), nghiệm của bất phương trình là (x < {log _a}b).

Chú ý:

a) Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự.

b) Nếu a > 1 thì ({a^u} = {a^v} Leftrightarrow u > v).

Nếu 0 < a < 1 thì ({a^u} > {a^v} Leftrightarrow u < v).

4. Bất phương trình lôgarit

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng ({log _a}x > b)(hoặc ({log _a}x ge b,{log _a}x < b,{log _a}x le b)) với (a > 0,a ne 1).

Xét bất phương trình dạng ({log _a}x > b):

- Nếu a > 1 thì nghiệm của bất phương trình là (x > {a^b}).

- Nếu 0 < a < 1 thì nghiệm của bất phương trình là (0 < x < {a^b}).

Chú ý:

a) Các bất phương trình lôgarit cơ bản còn lại được giải tương tự.

b) Nếu a > 1 thì ({log _a}u > {log _a}v Leftrightarrow u > v > 0).

Nếu 0 < a < 1 thì ({log _a}u > {log _a}v Leftrightarrow 0 < u < v).