Phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 1 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
1. Phương pháp
Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng a và mặt $left( alpha right)$
phẳng , ta tìm giao điểm của $a$ và một đường thẳng $b$ nằm trong
• Bước 1: Xác định mp $left( beta right)$ chứa $a$.
• Bước 2: Tìm giao tuyến $b = left( alpha right) cap left( beta right)$.
• Bước 3: Trong $left( beta right):a cap b = M$, mà $b subset left( alpha right)$, suy ra $M = a cap left( alpha right)$.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ giác $ABCD$ (không có cặp cạnh đối nào song song) nằm trong mặt phẳng $left( alpha right)$. $S$ là điểm không nằm trên $left( alpha right)$.
a. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAC) và (SBD), (SAB) và $left( {SCD} right)$.
b. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SC$ và $SD$. Tìm giao điểm $P$ của đường thẳng $BN$ với mặt phẳng $left( {SAC} right)$.
c. Gọi $Q$ và $R$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SB$. Chứng minh rằng bốn điểm $M,N,Q,R$ đồng phẳng.
Lời giải
a.
* Giao tuyến của mặt $mpleft( {SAC} right)$ và $mpleft( {SBD} right)$ :
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Ta có:
$left. {begin{array}{*{20}{l}} {S in left( {SAC} right)} {S in left( {SBD} right)} end{array}} right} Rightarrow S in left( {SAC} right) cap left( {SBD} right)$ (1)
Từ (1) suy ra $S$ là điểm chung thứ nhất của $mpleft( {SAC} right)$ và $mpleft( {SBD} right)$.
$left. begin{gathered} O in AC hfill AC subset left( {SAC} right) hfill end{gathered} right} Rightarrow O in left( {SAC} right)$
$left. begin{gathered} O in BD hfill BD subset left( {SBD} right) hfill end{gathered} right} Rightarrow O in left( {SBD} right)$
$ Rightarrow O in left( {SAC} right) cap left( {SBD} right)$ (2)
Từ (2) suy ra $O$ là điểm chung thứ hai của $mpleft( {SAC} right)$ và $mpleft( {SBD} right)$.
Vậy $SO = left( {SAC} right) cap left( {SBD} right)$.
• Giao tuyến của $mpleft( {SAB} right)$ và $mpleft( {SCD} right)$ : Gọi $E$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Ta có:
$left. {begin{array}{*{20}{l}} {S in left( {SAB} right)} {S in left( {SCD} right)} end{array}} right} Rightarrow S in left( {SAB} right) cap left( {SCD} right)$ (3)
Từ (3) suy ra $S$ là điểm chung thứ nhất của $mpleft( {SAB} right)$ và $mpleft( {SCD} right)$.
$left. begin{gathered} left. begin{gathered} E in AB hfill AB subset left( {SAB} right) hfill end{gathered} right} Rightarrow E in left( {SAB} right) hfill left. begin{gathered} E in CD hfill CD subset left( {SCD} right) hfill end{gathered} right} Rightarrow E in left( {SCD} right) hfill end{gathered} right} Rightarrow E in left( {SAB} right) cap left( {SCD} right)$ (4)
Từ (4) suy ra $E$ là điểm chung thứ hai của $mpleft( {SAB} right)$ và $mpleft( {SCD} right)$.
Vậy: $SE = left( {SAB} right) cap left( {SCD} right)$.
b. Trong $mpleft( {SBD} right)$, hai đường thẳng $SO,BN$ cắt nhau tại $P$, ta có:
$left{ begin{gathered} P in BN hfill P in SO subset left( {SAC} right) Rightarrow P in left( {SAC} right) hfill end{gathered} right. Rightarrow $ P là giao điểm của BN và (SAC).
Vậy $P$ là giao điểm cần tìm.
c. Chứng minh bốn điểm M, N, Q, R đồng phẳng:
• Trong mp(SCD), gọi T là giao điểm của MN và SE. Ta có MN là đường trung bình của tam giác SCD nên $MNparallel CD$.
Xét tam giác SDE, ta có:
$left. begin{gathered} MNparallel CD hfill N,là ,trung, điểm, của, SD hfill end{gathered} right} Rightarrow $ T là trung điểm của SE.
• Tương tự, QR là đường trung bình của tam giác SAB nên $QRparallel AB$.
Xét tam giác SAE, ta có:
$left. begin{gathered} QRparallel AB hfill Q ,là ,trung, điểm, của, SA hfill end{gathered} right} Rightarrow $ QR đi qua trung điểm T của SE.
Như vậy, bốn điểm M, N, Q, R nằm trong mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau TN và TQ nên chúng đồng phẳng.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng $left( alpha right)$, cho tứ giác $ABCD$. Gọi $S$ là điểm không thuộc $left( alpha right),M$ là điểm nằm trong tam giác SCD.
a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBD).
b. Xác định giao điểm của $AM$ và mặt phẳng (SBD).
Lời giải
a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBD):
Gọi $N$ là giao điểm của $SM$ và $CD$, gọi $E$ là giao điểm của $AN$ và $BD$.
Ta có $mpleft( {SAM} right) equiv mpleft( {SAN} right)$.
Ta có:
$left. {begin{array}{*{20}{l}} {E in AN Rightarrow E in left( {SAM} right)} {E in BD Rightarrow E in left( {SBD} right)} end{array}} right} Rightarrow E in left( {SAM} right) cap left( {SBD} right)$
Mặt khác:
Từ (1) và (2) suy ra:
b. Xác định giao điểm của $AM$ và mặt phẳng (SBD).
Ta có:
Ví dụ 3. Cho tứ diện $SABC$. Trên cạnh $SA$ lấy điểm $M$, trên cạnh $SC$ lấy điểm $N$, sao cho $MN$ không song song vói $AC$. Cho điểm $O$ nằm trong tam giác $ABC$. Tìm giao điểm của mặt phẳng $left( {OMN} right)$ với các đường thẳng $AC,BC$ và $AB$.
Lời giải
Trong $mpleft( {SAC} right):MN cap AC = left{ K right}$, mà $MN subset left( {OMN} right)$ nên $left{ K right} = AC cap left( {OMN} right)$.
Trong $mpleft( {ABC} right)$ : $OK cap BC = left{ H right}$, mà $OK subset left( {OMN} right)$ nên $left{ H right} = BC cap left( {OMN} right)$.
Ta có: $OK cap AB = left{ G right}$, mà $OK subset left( {OMN} right)$ nên
$left{ G right} = AB cap left( {OMN} right)$.
Ví dụ 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $ABCD$. Gọi $E$ và $F$ là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh $SB$ và $CD$.
a. Tìm giao điểm của $EF$ với mặt phẳng ( $SAC)$.
b. Tìm giao điểm của mặt phẳng (AEF) với các đường thẳng $BC$ và $SC$.
Lời giải
a. Ta có $EF subset left( {SBF} right)$.
Trong $mpleft( {ABCD} right):;BF cap AC = left{ O right},;$ suy $;$ ra
$left( {SAC} right) cap left( {SBF} right) = SO$.
Trong $mpleft( {SBF} right):EF cap SO = left{ K right}$, mà $SO subset left( {SAC} right)$,
suy ra $left{ K right} = EF cap left( {SAC} right)$.
b. Trong $mpleft( {ABCD} right)$ có $AF cap BC = left{ G right}$, mà $AF subset left( {AEF} right)$,
suy ra $left{ G right} = BC cap left( {AEF} right)$.
Khi đó: $left( {AEF} right) equiv left( {AEG} right)$.
Trong $mpleft( {SBC} right)$ : $EG cap SC = left{ H right}$, mà $EG subset left( {AEF} right)$, suy ra $left{ H right} = SC cap left( {AEF} right)$.