Giải bài tập Toán 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác
Giải Toán 10 trang 72 Tập 1
Câu hỏi khởi động trang 72 Toán lớp 10 Tập 1: Từ xa xưa, con người đã cần đo đạc các khoảng cách mà không thể trực tiếp đo được. Chẳng hạn, để do khoảng cách từ vị trí A trên bờ biển tới một hòn đảo (hay con tàu,…) trên biển, người xưa đã tìm ra một cách đo khoảng cách đó như sau:
Từ vị trí A, đo góc nghiêng α so với bờ biển tới một vị trí C quan sát được trên đảo. Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng d và tiếp tục đo góc nghiêng β so với bờ biển tới vị trí C đã chọn (Hình 18). Bằng cách giải tam giác BAC, họ tính được khoảng cách AC.
Giải tam giác được hiểu như thế nào?
Lời giải:
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên những dữ kiện cho trước.
Hoạt động 1 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, A^=α. Viết công thức tính BC theo b, c, α.
Lời giải:
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos A = c2 + b2 - 2.b.c.cosα
⇒BC=c2+b2−2bccosα.
Giải Toán 10 trang 73 Tập 1
Hoạt động 2 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Viết công thức tính cos A theo a, b, c.
Lời giải:
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos A
⇒ cos A = AB2+AC2−BC22.AB.AC
Vậy cos A = AB2+AC2−BC22.AB.AC.
Hoạt động 3 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, B^=α, C^=β. Viết công thức tính AB và AC theo a, α, β
Lời giải:
Trong tam giác ABC có: A^=180°−B^−C^=180°−α−β.
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:
BCsinA=ACsinB=ABsinC
⇒asin180°−α−β=ACsinα=ABsinβ
Do đó AC = a.sinαsin180°−α−β và AB = a.sinβsin180°−α−β.
Hoạt động 4 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Kẻ đường cao BH.
a) Tính BH theo c và sin A.
b) Tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, và sin A.
Lời giải:
a) Xét các trường hợp:
+ Với A^<90°
Xét tam giác vuông AHB, ta có sinA=BHBA
Do đó BH = AB . sin A = c . sin A.
+ Với A^=90°
Khi đó sin A = sin 90o = 1; BH = BA = c . 1 = c . sin A.
+ Với A^>90°
Xét tam giác AHB vuông, ta có: BAH^=180°−A^.
Do đó BH = AB . sin(180° - A^) = AB . sin A = c . sin A.
Như vậy, trong mọi trường hợp ta đều có BH = c . sin A.
b) Diện tích tam giác ABC bằng 12AC.BH nên S=12AC . BH=12bcsinA.
Giải Toán 10 trang 74 Tập 1
Luyện tập 1 trang 74 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 12; B^=60°; C^=45°. Tính diện tích của tam giác ABC.
Lời giải:
Xét tam giác ABC ta có A^=180°−B^−C^=180°−60°−45°=75°.
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:
BCsinA=ABsinC
⇒BCsin75°=12sin45°
⇒BC=12sin45°.sin75°
⇒ BC = 6 + 63
Khi đó diện tích tam giác ABC bằng:
12AB . BC . sin B = 12. 12 . (6 + 63) . sin 60o ≈ 85,2.
Giải Toán 10 trang 75 Tập 1
Hoạt động 5 trang 75 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24).
a) Từ định lí côsin, chứng tỏ rằng:
sinA=2bcpp−ap−bp−c, ở đó p=a+b+c2.
b) Bằng cách sử dụng công thức S=12bcsinA, hãy chứng tỏ rằng:
S=pp−ap−bp−c.
Lời giải:
a) Xét tam giác ABC, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos A (định lí cosin)
⇒ cos A = AB2+AC2−BC22.AB.AC
⇒ cos A = c2+b2−a22.c.b
⇒cos2A=b2+c2−a224b2c2
Do A^ là góc của tam giác ABC nên 0°<A^<180°.
Do đó sin A > 0.
Lại có cos2 A + sin2 A = 1 nên sin2 A = 1 - cos2 A.
⇒sin2A=1−b2+c2−a224b2c2
⇒sin2A=4b2c2−b2+c2−a224b2c2
⇒sin2A=2bc+b2+c2−a22bc−b2−c2+a24b2c2
⇒sin2A=b+c2−a2a2−b−c24b2c2
⇒sin2A=b+c+ab+c−aa+b−ca−b+c4b2c2
mà p=a+b+c2
⇒ sin2A=2p.2p−a.2p−c.2p−b4b2c2
⇒sin2A=4pp−ap−bp−cb2c2
Do sin A > 0 nên sinA=4pp−ap−bp−cb2c2.
Do đó sinA=2bcpp−ap−bp−c.
b) Ta có diện tích tam giác ABC: S = 12bc.sin A.
Mà sinA=2bcpp−ap−bp−c nên S = 12bc. 2bcpp−ap−bp−c.
Do đó S=pp−ap−bp−c.
Giải Toán 10 trang 76 Tập 1
Luyện tập 2 trang 76 Toán lớp 10 Tập 1: Từ trên nóc của một tòa nhà cao 18,5 m, bạn Nam quan sát một cái cây cách tòa nhà 30 m và dùng giác kế đo được góc lệch giữa phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang là 34°, góc lệch giữa phương quan sát ngọn cây và phương nằm ngang là 24°. Biết chiều cao của chân giác kế là 1,5 m. Chiều cao của cái cây là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Lời giải:
Gọi BC là chiều cao của tòa nhà, AB là chiều cao của chân giác kế, CD là khoảng cách giữa tòa nhà và cái cây, DAF^ là góc lệch giữa phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang, EAF^ là góc lệch giữa ngọn cây và phương nằm ngang. Khi đó chiều cao của cây là độ dài DE.
Tam giác AFD vuông tại F nên tanDAF^=DFAF
⇒ DF = AF . tan DAF^ = 30 . tan 34o ≈ 20,2 m.
Tam giác AFE vuông tại F nên tanEAF^=EFAF
⇒ EF = AF. tan EAF^ = 30 . tan 24o ≈ 13,4 m.
Khi đó DE = DF - EF = 20,2 - 13,4 = 6,8 m.
Vậy chiều cao cây khoảng 6,8 m.
Bài tập
Giải Toán 10 trang 77 Tập 1
Bài 1 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = 12, CA = 15, C^=120°. Tính:
a) Độ dài cạnh AB;
b) Số đo các góc A, B;
c) Diện tích tam giác ABC.
Lời giải:
a) Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC có:
AB2 = BC2 + CA2 - 2.BC.CA.cos C
⇒ AB2 = 122 + 152 - 2.12.15.cos 120o
⇒ AB2 = 549
⇒ AB = 361 m.
b) Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:
ABsinC=ACsinB
⇒sinB=AC.sinCAB=15.sin120°361≈0,554
⇒B^ ≈ 34o.
Trong tam giác ABC có
A^=180°−B^−C^=180°−34°−120°=26°.
c) Diện tích tam giác ABC là:
S = 12BC.AC.sin C = 12.12.15.sin 120o = 453 (đvdt).
Bài 2 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, A^=120°. Tính độ dài cạnh AC.
Lời giải:
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:
BCsinA=ABsinC
⇒sinC=AB.sinABC=5.sin120°7=5314
⇒C^ ≈ 38,2o.
Trong tam giác ABC có
B^=180°−A^−C^=180°−120°−38,2°=21,8°.
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:
BCsinA=ACsinB
⇒AC=BC.sinBsinA=7.sin21,2°sin120°≈2,9 m.
Vậy độ dài cạnh AC là 2,9m.
Bài 3 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 100, B^=100°, C^=45°. Tính:
a) Độ dài các cạnh AC, BC;
b) Diện tích tam giác ABC.
Lời giải:
a) Trong tam giác ABC có
A^=180°−B^−C^=180°−100°−45°=35°.
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:
ACsinB=ABsinC=BCsinA
Do đó
AC=AB.sinBsinC=100.sin100°sin45°≈139,3;
BC=AB.sinAsinC=100.sin35°sin45°≈81,1.
Vậy AC ≈ 139,3, BC ≈ 81,1.
b) Diện tích tam giác ABC là:
S = 12. AB.AC.sin A = 12. 100 . 139,3 . sin 35o ≈ 3995 (đvdt).
Vậy diện tích tam giác ABC là 3995 (đvdt).
Bài 4 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20. Tính:
a) Số đo các góc A, B, C;
b) Diện tích tam giác ABC.
Lời giải:
a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin vào tam giác ABC ta có:
cos A = AB2+AC2−BC22.AB.AC=122+152−2022.12.15=−31360
⇒A^ ≈ 95o.
cos B = BC2+BA2−AC22.BC.CA=202+122−1522.20.12=319480
⇒B^ ≈ 48o.
Trong tam giác ABC có:
C^=180°−A^−B^=180°−95°−48°=37°
b) Diện tích tam giác ABC là:
S = 12AB . AC . sin A = 12. 12 . 15 . sin 95o ≈ 90 (đvdt).
Vậy diện tích tam giác ABC là 90 (đvdt).
Bài 5 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau:
Lời giải:
+) Xét Hình 29:
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:
BCsinA=ACsinB
⇒sinB=AC.sinABC=5,2.sin40°3,6≈0,93
⇒B^≈68°.
Trong tam giác ABC có C^=180°−A^−B^=180°−40°−68°=72°.
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:
BCsinA=ABsinC
⇒AB=BC.sinCsinA=3,6.sin72°sin40°≈5,3 m.
Vậy AB ≈ 5,3 m.
+) Xét Hình 30:
Gọi H là chân đường cao kẻ từ C đến AB.
Tam giác ACH vuông tại H nên cos CAH^=AHAC.
Do đó AH = AC. cos CAH^ = 5,2 . cos 40o ≈ 4 m.
sin CAH^=CHAC⇒ CH = AC . sin CAH^ = 5,2 . sin 40o ≈ 3,3 m.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BCH vuông tại H:
BH2 + CH2 = BC2 ⇒ BH2 = BC2 - CH2
⇒ BH2 = 3,62 - 3,32 ⇒ BH2 = 2,07
⇒ BH ≈ 1,44 m.
Khi đó AB ≈ 4 - 1,44 ≈ 2,56 m.
Vậy AB ≈ 2,56m.
Bài 6 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A và B mà không thể đi trực tiếp từ A đến B (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy, …), người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm C sao cho ta đo được các khoảng cách AC, CB và góc ACB. Sau khi đo, ta nhận được: AC = 1 km, CB = 800 m và ACB^=105° (Hình 31). Tính khoảng cách AB (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét).
Lời giải:
Đổi 1 km = 1 000 m.
Ba vị trí A, B, C tạo thành ba đỉnh của tam giác.
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:
AB2 = AC2 + BC2 - 2.AC.BC.cos C
⇒ AB2 = 1 0002 + 8002 - 2.1000.800.cos 105o
⇒ AB2 ≈ 2 054 110,5 m.
⇒ AB ≈ 1433,2 m.
Vậy AB ≈ 1433,2 m.
Bài 7 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là 45° và 75°. Biết khoảng cách giữa hai bị trí A, B là 30 m (Hình 32). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải:
Gọi C là vị trí ngọn hải đăng, khi đó CH là khoảng cách giữa ngọn hải đăng và bờ.
Ta có CBH^ là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC nên CBH^=BAC^+BCA^.
Do đó BCA^=CBH^−BAC^=75°−45°=30°.
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:
ABsinC=BCsinA
⇒BC=AB.sinAsinC=30.sin45°sin30°=302 m.
Trong tam giác CBH vuông tại H:
sinCBH^=CHBC
⇒ CH = BC . sin CBH^
= 302 . sin 75o = 15 + 153 m ≈ 41 m.
Vậy khoảng cách từ ngọn hải đăng đến bờ khoảng 41 m.